Embarcadero RAD Studio 2010,Pascal/Delphi,Комп'ютерна графіка,Математичне ПЗ,Практика

014 – Розробка програми рисування графіка функції двох змінних z=f(x, y)

Розробка програми рисування графіку функції двох змінних z=f(x, y)

У даній роботі описано як в окремій формі реалізувати графік функції двох змінних

z = f(x, y)

або іншими словами графік у трьохвимірному просторі (3D).

Як приклад, вибрано функцію

z = sin(x) + cos(y)

Використовуючи даний приклад можна створювати власне програмне забезпечення для рисування графіків для інших функцій двох змінних.

Зміст




Умова задачі

Дано формулу функції двох змінних z = sin(x) + cos(y). Розробити додаток, який рисує графік цієї функції в окремій формі.

Додатково реалізувати поворот графіку вліво, вправо, вверх, вниз. Також потрібно виводити осі X, Y, Z.

⇑

Математична постановка задачі

Побудова графіка функції двох змінних є задачею, яка математично розв’язана і використовує відомі формули обчислення.

Графік функції двох змінних z(x, y) будується в паралелепіпеді з розмірами (xx1, xx2), (yy1, yy2), (zz1, zz2).

Для використання повороту системи у 3-вимірному просторі виникає поняття точки (x0, y0, z0), відносно якої відбувається поворот системи.

Також виникає поняття кутів:

  • 02_02_00_013_alfa (альфа) – поворот системи відносно осі OZ;
  • 02_02_00_013_beta (бета) – поворот системи відносно осі OX.

Зсув у точку (x0, y0, z0) з врахуванням повороту на кути 02_02_00_013_alfa та 02_02_00_013_beta описується відомими співвідношеннями

02_02_00_013_formula_01

Після перемноження матриць отримуємо формулу для обчислення:

02_02_00_013_formula_02

 

01_02_00_014_01_

Рис. 1. Зсув і поворот системи координат

Необхідно визначитись, в якій площині монітору будуть лежати вісі координат OX, OY, OZ. Приймаємо, що в площині монітору лежать осі OX та OY. А вісь OZ перпендикулярна екрану.

Координати розраховуваної точки (x, y) притискаються до точки (0, 0) за формулами:

02_02_00_013_formula_03

де A, a – коефіцієнти перспективи, які підбираються експериментально в залежності від функції.

⇑

Виконання

1. Запустити Delphi. Створити проект за шаблоном VCL Forms Application

Детальний приклад створення проекту описується тут. Зберегти проект під довільним іменем. У результаті буде створено головну форму програми з іменем Form1. Файл головної форми має ім’я “Unit1.pas“.

⇑

 

2. Розробка головної форми Form1

Створити головну форму за зразком, як показано на рисунку 2.

01_02_00_014_02u

Рис. 2. Вигляд форми Form1

На формі розміщується компонент типу TButton, який призначений для виклику обробника події відображення графіку функції. У результаті утворюється об’єкт з іменем Button1.

З допомогою Object Inspector в компоненті Button1 потрібно настроїти властивість Caption в значення «Показати 3D графік…».

⇑

 

3. Розробка другорядної форми Form2

Створити форму Form2 як показано на рисунку 3. Ця форма відображатиме графік функції. Приклад створення нової форми описується тут.

Форма Fom2 розміщується у модулі “Unit2.pas”.

01_02_00_014_03_

Рис. 3. Форма Form2 виведення графіку функції

З палітри Tool Palette на формі розміщуються компоненти наступних типів:

  • з вкладки Standard чотири компоненти типу TButton, які представляють стрілки напрямків обертання графіку функції. У результаті утворюється чотири об’єкти-змінні з іменами Button1, Button2, Button3, Button4;
  • з вкладки Additional компонент типу TImage, в якому буде відображатись графік функції. Створюється об’єкт з іменем Image1.

З допомогою Object Inspector здійснити налаштування таких компонент:

  • у компоненті Button1 властивість Caption = «^»;
  • у компоненті Button2 властивість Caption = «v»;
  • у компоненті Button3 властивість Caption = «<<»;
  • у компоненті Button4 властивість Caption = «>>».

⇑

 

4. Ввід внутрішніх змінних у Form2

Усі внутрішні змінні, що використовуються для організації виведення графіку, розміщуються в формі Form2. Тому, спочатку треба активізувати модуль «Unit2.pas».

У модуль форми Form2 у розділі private вводяться наступні внутрішні змінні:

  • xx1, xx2, yy1, yy2 – відповідають координатам точок що відображаються на екрані монітору;
  • масиви xx та yy які призначені для виведення площини з 4-х точок. Область визначення функції z = f(x, y) розбивається на прямокутники, на кожному з яких функція екстраполюється з ребрами чотирикутника.

У розділі public вводяться:

  • змінні X_min, Y_min, X_max, Y_max дійсного типу, що відповідають реальним координатам паралелепіпеда, в якому виводиться графік функції. Ці змінні заповнюються з основної форми Form1 експериментальним шляхом;
  • змінні alfa, beta дійсного типу, які відображають кути спостереження за графіком функції. Заповнюються з основної форми Form1;
  • змінні x0, y0, z0 дійсного типу. Відображають величини з основної формули обчислення (див. математичну постановку задачі);
  • змінна A дійсного типу є коефіцієнтом перспективи і підбирається експериментально;
  • змінна f_show логічного типу, яка використовується для вказування того, що потрібно перемалювати графік у випадку зміни положення одного з кутів alfa чи beta.

Після введення змінних у текст програми, фрагмент класу форми Form2 має вигляд:

type
  TForm2 = class(TForm)
    ...

    private
      { Private declarations }
      xx1, xx2, yy1, yy2 : integer;
      xx, yy : array[0..3] of integer;

    public
      { Public declarations }
      // Дані, які заповнюються з форми Form1
      X_min, Y_min, X_max, Y_max: real;
      alfa, beta:real;
      x0, y0, z0:real;
      A:real;
      f_show:boolean;

      ...
  end;

Змінні з розділу public заповнюються з форми Form1.

⇑

 

5. Ввід внутрішніх методів у текст модуля “Unit2.pas”

У текст класу форми Form2 потрібно ввести три додаткові методи:

  • процедуру перетворення системи координат і масштабування Zoom_XY;
  • функцію func для якої виводиться графік;
  • процедуру рисування графіка функції Show_Graphic.

Після введення внутрішніх методів, фрагмент лістингу класу Form2 наступний:

type
  TForm2 = class(TForm)

    ...

    private
      { Private declarations }
      xx1, xx2, yy1, yy2 : integer;
      xx, yy : array[0..3] of integer;

      // внутрішні методи
      procedure Zoom_XY(x,y,z:real; var xx,yy:integer);
      procedure Show_Graphic;
      function func(x,y:real):real;

    public
      { Public declarations }
      // Дані, які заповнюються з форми Form1
      X_min, Y_min, X_max, Y_max: real;
      alfa, beta:real;
      x0, y0, z0:real;
      A:real;
      f_show:boolean;
   end;

 ...

Лістинг процедури перетворення системи координат наступний:

procedure TForm2.Zoom_XY(x: Real; y: Real; z: Real; var xx: Integer; var yy: Integer);

var
  tx, ty, tz:real;
  xn, yn, zn:real;
begin
  tx := (x-x0)*cos(alfa) - (y-y0)*sin(alfa);
  ty := ((x-x0)*sin(alfa) + (y-y0)*cos(alfa)) * cos(beta) - (z-z0)*sin(beta);
  tz := ((x-x0)*sin(alfa) + (y-y0)*cos(alfa)) * sin(beta) + (z-z0)*cos(beta);

  xn := tx/(tz/A+1);
  yn := ty/(tz/A+1);

  xx := Trunc(Image1.Width * (xn-X_min)/(X_max-X_min));
  yy := Trunc(Image1.Height * (yn-Y_max)/(Y_min-Y_max));
end;

Безпосереднє виведення графіку функції реалізовано в процедурі Show_Graphic. Лістинг процедури Show_Graphic наступний.

procedure TForm2.Show_Graphic;
const
  h = 0.1;
  h0 = 0;
var
  i,j:integer;
  canv:TCanvas;

begin
  canv := Image1.Canvas; // полотно для рисування

  // очищення полотна (канви)
  canv.Rectangle(-1,-1, Image1.Width, Image1.Height);

  // рисування осей
  Zoom_XY(0,0,0,xx1,yy1);
  Zoom_XY(1.2,0,0,xx2,yy2);
  canv.MoveTo(xx1,yy1);
  canv.LineTo(xx2,yy2);
  canv.TextOut(xx2+3,yy2,'X');

  Zoom_XY(0,0,0,xx1,yy1);
  Zoom_XY(0,1.2,0,xx2,yy2);
  canv.MoveTo(xx1,yy1);
  canv.LineTo(xx2,yy2);
  canv.TextOut(xx2+3,yy2,'Y');

  Zoom_XY(0,0,0,xx1,yy1);
  Zoom_XY(0,0,1.2,xx2,yy2);
  canv.MoveTo(xx1,yy1);
  canv.LineTo(xx2,yy2);
  canv.TextOut(xx2+3,yy2-3,'Z');

  // рисування поверхні
  for j:=0 to 9 do
    for i:=0 to 9 do
    begin
      Zoom_XY(h0+h*i, h0+h*j, func(h0+h*i, h0+h*j), xx[0], yy[0]);
      Zoom_XY(h0+h*i, h+h*j, func(h0+h*i, h+h*j), xx[1], yy[1]);
      Zoom_XY(h+h*i, h+h*j, func(h+h*i, h+h*j), xx[2], yy[2]);
      Zoom_XY(h+h*i, h0+h*j, func(h+h*i, h0+h*j), xx[3], yy[3]);
      canv.Polygon([Point(xx[0], yy[0]), Point(xx[1], yy[1]),
                   Point(xx[2], yy[2]), Point(xx[3], yy[3])]);
    end;
end;

Пояснимо деякі фрагменти коду в процедурі Show_Graphic.

Область визначення функції z = f(x, y) розбивається на прямокутники, на кожному з яких функція екстраполюється з ребрами чотирикутника. Побудова чотирикутників на екрані реалізується з допомогою методу Polygon().

Після очищення канви відбувається рисування осей координат і методом Polygon() виводяться фрагменти поверхні.

При рисуванні поверхні, з процедури Show_Graphic викликається процедура Zoom_XY(), яка здійснює перетворення і масштабування з реальних координат в екранні координати.

Лістинг методу func() наступний.

function TForm2.func(x: Real; y: Real):real;
begin
  func := sin(x) + cos(y);
end;

У цьому методі замість рядка

func := sin(x) + cos(y);

можна зробити вставку власної функції.

⇑

 

6. Програмування обробників подій кліку на кнопках обертання графіку у формі Form2

Обертання графіку відбувається в момент, коли користувач робить клік на одній з кнопок розміщених на формі Form2 (компоненти Button1, Button2, Button3, Button4).

Відображення графіку залежить від внутрішніх змінних alfa і beta. Змінна alfa містить кут повороту відносно осі OZ. Змінна beta містить значення кута повороту навколо осі OX.

Тому, в обробниках подій відбувається зміна значень alfa і beta на деяку величину. За бажанням, можна встановити власну величину зміни alfa і beta.

Лістинг обробників подій наведено нижче.

procedure TForm2.Button1Click(Sender: TObject);
begin
  beta := beta + 0.1;
  Show_Graphic;
end;

procedure TForm2.Button2Click(Sender: TObject);
begin
  beta := beta - 0.1;
  Show_Graphic;
end;

procedure TForm2.Button3Click(Sender: TObject);
begin
  alfa := alfa + 0.1;
  Show_Graphic;
end;

procedure TForm2.Button4Click(Sender: TObject);
begin
  alfa := alfa - 0.1;
  Show_Graphic;
end;

⇑

 

7. Програмування обробника події активізації форми Form2

В момент виклику форми Form2 має виводитись графік функції. Тому в обробнику події OnActivate форми Form2 викликається метод Show_Graphic.

procedure TForm2.FormActivate(Sender: TObject);
begin
  Show_Graphic;
end;

⇑

 

8. Програмування обробників подій обертання графіку з допомогою мишки

Для здійснення обертання графіку з допомогою мишки потрібно запрограмувати відповідні обробники подій компонента Image1.

Якщо натиснути клавішу миші і утримувати її натиснутою над компонентом Image1 а потім відпустити, то генеруються такі події (рисунок 4):

  • OnMouseDown – генерується, коли користувач робить клік мишкою на компоненті Image1;
  • OnMouseMove – генерується, коли користувач переміщує мишку над компонентом Image1 (не залежно, чи натиснута одна з кнопок мишки);
  • OnMouseUp – генерується, коли користувач відпускає кнопку мишки після натиску.

01_02_00_014_04_

Рис. 4. Події OnMouseDown, OnMouseMove, OnMouseUp компонента Image1

Переміщення мишки з натиснутою клавішею по компоненту Image1 приводить до зміни кутів alfa і beta. Змінна f_show використовується для вказівки обробнику події OnMouseMove, що потрібно змінити змінні alfa і beta і перемалювати графік.

Лістинги обробників подій OnMouseDown, OnMouseMove та OnMouseUp наведено нижче.

procedure TForm2.Image1MouseDown(Sender: TObject; Button: TMouseButton;
 Shift: TShiftState; X, Y: Integer);
begin
  f_show := true;
end;

procedure TForm2.Image1MouseMove(Sender: TObject; Shift: TShiftState; X,
 Y: Integer);
var
  a, b:real;
begin
  if f_show then
  begin
    a := x - Width div 2;
    b := y - Height div 2;
    if a<>0 then
      alfa := arctan(b/a)
    else
      alfa := Pi/2;
    beta := sqrt(sqr(a/10) + sqr(b/10));
    Show_Graphic;
  end;
end;

procedure TForm2.Image1MouseUp(Sender: TObject; Button: TMouseButton;
 Shift: TShiftState; X, Y: Integer);
begin
  f_show := false;
end;

⇑

 

9. Програмування події кліку на кнопці «Показати 3D графік…» з форми Form1.

При кліку на кнопці Button1 з форми Form1 має виводитись графік функції.

Обробник події кліку на кнопці Button1 має вигляд.

procedure TForm1.Button1Click(Sender: TObject);
begin
  Form2.f_show := false;
  Form2.x0 := 0;
  Form2.y0 := 0;
  Form2.z0 := 0;
  Form2.A := -8;
  Form2.alfa := 10;
  Form2.beta := 12;
  Form2.X_min := -3;
  Form2.X_max := 3;
  Form2.Y_min := -3;
  Form2.Y_max := 3;
  Form2.ShowModal;
end;

Як видно з лістингу, перед викликом форми Form2 формуються значення внутрішніх змінних. Ці значення підбираються експериментально і можуть відрізнятись для кожної функції.

⇑

 

10. Запуск додатку на виконання

Тепер можна запустити додаток на виконання і протестувати його роботу (рисунок 5).

01_02_00_014_05_Рис. 5. Виконання додатку

⇑