Python, Теория

Python. Модуль cmath. Работа с комплексными числами. Тригонометрические функции

Модуль cmath. Работа с комплексными числами. Тригонометрические функции. Гиперболические функции. Функции классификаций

Содержание

Поиск на других ресурсах:

1. Тригонометрические функции

Модуль cmath содержит 6 тригонометрических функций, которые обрабатывают комплексные числа:

  • cmath.acos(x) — возвращает арккосинус от аргумента x;
  • cmath.asin(x) — возвращает арксинус от аргумента x;
  • cmath.atan(x) — определяет арктангенс от аргумента x;
  • cmath.cos(x) — возвращает косинус от аргумента x;
  • cmath.sin(x) — возвращает синус от аргумента x;
  • cmath.tan(x) — возвращает тангенс от аргумента x.

  ⇑

1.1. Функции cmath.acos(), cmath.asin(), cmath.atan(). Получить арккосинус, арксинус, арктангенс аргумента

Функции

cmath.acos(x)
cmath.asin(x)

возвращают соответственно арккосинус и арксинус от аргумента x. Каждая из функций имеет два разреза разветвления. Первый простирается от 1 до  ∞ вдоль вещественной оси, непрерывный снизу. Второй простирается влево от -1 до -∞ вдоль вещественной оси, непрерывный сверху.

Функция

cmath.atan(x)

позволяет получить арктангенс от аргумента x.

Функция имеет два разреза разветвления. Первый простирается от 1j вдоль мнимой оси до ∞j непрерывно справа. Второй простирается от -1 до -∞ и является непрерывный слева.

Пример.

# Тригонометрические функции acos(), asin(), atan()

# 1. Подключить модуль cmath
import cmath

# 2. Получить комплексное число с клавиатуры
re = int(input('re = '))
im = int(input('im = '))
z = complex(re, im)

# 3. Вычислить арккосинус аргумента z и вывести его
arc_cos = cmath.acos(z)
print('arc_cos = ', arc_cos)

# 4. Вычислить арксинус от z
arc_sin = cmath.asin(z)
print('arc_sin = ', arc_sin)

# 5. Вычислить арктангенс от z
arc_tan = cmath.atan(z)
print('arc_tan = ', arc_tan)

Тестовый пример

re = 3
im = -4
arc_cos = (0.9368124611557198+2.305509031243477j)
arc_sin = (0.6339838656391766-2.305509031243477j)
arc_tan = (1.4483069952314644-0.15899719167999918j)

  ⇑

1.2. Функции cmath.cos(), cmath.sin(), cmath.tan(). Получить косинус, синус и тангенс аргумента

Функции

cmath.cos(x)
cmath.sin(x)
cmath.tan(x)

возвращают косинус, синус и тангенс аргумента x.

Пример.

# Функции cos(), sin(), tan()

# Подключить модуль cmath
import cmath

# Создать комплексное число z = 7-8j
z = complex(7, -8)

# Вычислить косинус, синус, тангенс
sin_res = cmath.sin(z)
cos_res = cmath.cos(z)
tan_res = cmath.tan(z)
print('sin_res = ', sin_res)
print('cos_res = ', cos_res)
print('tan_res = ', tan_res)

Тестовый пример

sin_res = (979.2248346123021-1123.6753468137035j)
cos_res = (1123.675599719735+979.2246142178511j)
tan_res = (2.2295633684101687e-07-0.9999999692244822j)

  ⇑

2. Гиперболические функции

Модуль cmath содержит реализацию следующих гиперболических функций, которые оперируют комплексными числами:

  • cmath.acosh(x) — возвращает гиперболический арккосинус от аргумента x;
  • cmath.asinh(x) — возвращает гиперболический арксинус от аргумента x;
  • cmath.atanh(x) — возвращает гиперболический арктангенс от аргумента x;
  • cmath.cosh(x) — возвращает гиперболический косинус от аргумента x;
  • cmath.sinh(x) — возвращает гиперболический синус от аргумента x;
  • cmath.tanh(x) — возвращает гиперболический тангенс от аргумента x.

  ⇑

2.1. Функции cmath.acosh(), cmath.asinh(), cmath.atanh(). Гиперболический арккосинус, арксинус, арктангенс

Для вычисления гиперболического арккосинуса от аргумента x используется функция

cmath.acosh(x)

Для данной функции существует один разрез ветви, который простирается слева от -1 вдоль вещественной оси к -∞. Этот разрез непрерывен сверху.

Для вычисления гиперболического арксинуса от аргумента x используется функция

cmath.asinh(x)

Здесь есть два разветвления. Первое разветвление простирается от 1j вдоль мнимой оси к ∞j.

Это разветвление является непрерывным справа. Второе разветвление простирается от -1j вдоль мнимой оси к -∞j и есть непрерывным справа.

Для вычисления гиперболического арктангенса от аргумента x используется функция

cmath.atanh(x)

Здесь есть два разветвления. Одно разветвление расширяется от 1 вдоль вещественной оси до ∞ и непрерывно снизу. Второе расширяется от -1 вдоль вещественной оси до -∞ и непрерывно сверху.

Пример.

В примере реализовано вычисление гиперболического арккосинуса, гиперболического арксинуса и гиперболического арктангенса. Также демонстрируется вывод результата для гиперболического арккосинуса в удобной форме с точностью 2 знака после запятой.

# Тригонометрические функции acosh(), asinh(), atanh()

# 1. Подключить модуль cmath
import cmath

# 2. Получить комплексное число с клавиатуры
re = int(input('re = ')) # вещественная часть
im = int(input('im = ')) # мнимая часть
z = complex(re, im)

# 3. Вычислить гиперболический арккосинус аргумента z
# и вывести его с точностью 2 знака после запятой
# 3.1. Получить значение
arc_cosh = cmath.acos(z)

# 3.2. Сформировать составляющие комплексного числа
re_str = '%.2f' % arc_cosh.real # вещественная часть комплексного числа arc_cosh
im_str = '%.2f' % arc_cosh.imag # мнимая часть

# 3.3. Вывести на экран в удобной форме
if arc_cosh.imag>0:
    print('arc_cosh = ' + re_str + '+' + im_str + 'j')
elif arc_cosh.imag==0:
    print('arc_cosh = ' + re_str)
else:
    print('arc_cosh = ' + re_str + im_str + 'j')

# 4. Вычислить и вывести гиперболический арктангенс
arc_tanh = cmath.atanh(z)
print('arc_tanh = ', arc_tanh)

# 5. Вычислить и вывести гиперболический арксинус
arc_sinh = cmath.asinh(z)
print('arc_sinh = ', arc_sinh)

Тестовый пример

re = 3
im = -4
arc_cosh = 0.94+2.31j
arc_tanh = (0.1175009073114339-1.4099210495965755j)
arc_sinh = (2.2999140408792695-0.9176168533514787j)

  ⇑

2.2. Функции cmath.cosh(), cmath.sinh(), cmath.tanh(). Гиперболический косинус, синус, тангенс

Для вычисления гиперболического косинусу, синуса и тангенса соответственно используются функции

cmath.cosh(x)
cmath.sinh(x)
cmath.tanh(x)

Пример.

# Тригонометрические функции cosh(), sinh(), tanh()

# 1. Подключить модуль cmath
import cmath

# 2. Получить комплексное число с клавиатуры
re = int(input('re = ')) # вещественная частина
im = int(input('im = ')) # мнимая частина
z = complex(re, im)

# 3. Вычислить гиперболический косинус аргумента z
# и вывести его с точностью 2 знака после запятой
# 3.1. Получить значение
cosh = cmath.cosh(z)

# 3.2. Сформировать составляющие комплексного числа
re_str = '%.2f' % cosh.real # вещественная часть комплексного числа cosh
im_str = '%.2f' % cosh.imag # мнимая часть

# 3.3. Вывести на экран в удобной форме
res_str = re_str
if cosh.imag>0:
    res_str += '+'
res_str += im_str + 'j'
print('cosh = ' + res_str)

# 4. Вычислить и вывести гиперболический тангенс
tanh = cmath.tanh(z)
print('tanh = ', tanh)

# 5. Вычислить и вывести гиперболический синус
sinh = cmath.sinh(z)
print('sinh = ', sinh)

Тестовый пример

re = 4
im = -3
cosh = -27.03-3.85j
tanh = (0.999355987381473+0.0001873462046294784j)
sinh = (-27.016813258003932-3.8537380379193773j)

  ⇑

3. Функции классификаций

К функциям классификаций модуля cmath относятся следующие:

  • cmath.isinfinite(x) — определяет, есть ли конечной вещественная и мнимая часть комплексного числа x;
  • cmath.isinf(x) — определяет, есть ли бесконечной вещественная или мнимая части комплексного числа x;
  • cmath.isnan(x) — определяет, имеют ли значение Nan вещественная или мнимая части комплексного числа x;
  • cmath.isclose(x) — определяет близость двух значений между собой.

  ⇑

3.1. cmath.isfinite(). Конечность комплексного числа

Функция

cmath.isfinite(x)

возвращает True, если вещественная и мнимая части комплексного числа есть конечными. В противном случае функция возвращает False.

Пример.

# Функция isfinite()

# 1. Подключить модуль cmath
import cmath

# 2. Получить комплексное число с клавиатуры
re = int(input('re = ')) # вещественная часть
im = int(input('im = ')) # мнимая часть
z = complex(re, im)

# 3. Использование функции isfinite()
res = cmath.isfinite(z)

if res:
    print('Both parts are finite.')
else:
    print('Both parts are not finite.')

Тестовый пример

re = 5
im = -2
Both parts are finite.

  ⇑

3.2. cmath.isinf(). Конечность составляющих комплексного числа

Функция

cmath.isinf(x)

возвращает True, если вещественная (x.real) или мнимая (x.imag) части комплексного числа есть бесконечными. В противном случае, возвращается False.

Пример.

# Функция isinf()

# 1. Подключить модуль cmath
import cmath

# 2. Получить комплексное число с клавиатуры
re = int(input('re = ')) # вещественная часть
im = int(input('im = ')) # мнимая часть
z = complex(re, im)

# 3. Использование функции isinf()
res = cmath.isinf(z)

if res:
    print('Both parts are not finite.')
else:
    print('Both parts are finite.')

Тестовый пример

re = 5
im = -3
Both parts are finite.

  ⇑

3.3. cmath.isnan(). Проверка составляющих комплексного числа на значение Nan

Функция

cmath.isnan(x)

возвращает True, если одна из частей (вещественная или мнимая) комплексного числа имеет значение Nan. В противном случае функция возвращает False.

Пример.

# Функция isnan()

# 1. Подключить модуль cmath
import cmath

# 2. Получить комплексное число с клавиатуры
re = int(input('re = ')) # вещественная часть
im = int(input('im = ')) # мнимая часть
z = complex(re, im)

# 3. Использование функции isnan()
res = cmath.isnan(z)

if res:
    print('One of the parts is equal to the Nan value.')
else:
    print('Both parts are not equal to Nan.')

Тестовый пример

re = 2
im = -7
Both parts are not equal to Nan.

  ⇑

3.4. cmath.isclose(). Определение близости двух значений между собой

Функция cmath.isclose() позволяет определить близость двух значений между собой на основе заданной точности. Согласно документации Python синтаксис объявления функции следующий:

cmath.isclose(a, b, rel_tol=1e-09, abs_tol = 0.0)

здесь

  • a, b — комплексные числа, которые сравниваются между собой. Если значения близки (равны с указанной точностью), то функция возвращает True, иначе функция возвращает False;
  • rel_tol — необязательный параметр, задает относительную погрешность при сравнении;
  • abs_tol — необязательный параметр, который определяет абсолютную погрешность между значениями элементов.

Пример.

# Функция isclose()

# Подключить модуль cmath
import cmath

# Случай 1. Два комплексных числа не равны
z1 = complex(2.5, 3.2) # z = 2.5+3.2j
z2 = complex(2.5000001, 3.2) # z = 2.5000001+3.2j

# Использование функции isclose()
res = cmath.isclose(z1, z2) # False
if res:
    print('z1 == z2')
else:
    print('z1 != z2')

# Случай 2. Два комплексных числа равны
z1 = complex(7.2, -1.7) # z1 = 7.2-1.7j
z2 = complex(7.2, -1.7) # z2 = 7.2-1.7j

# Использование функции isclose()
res = cmath.isclose(z1, z2) # True
if res:
    print('z1 == z2')
else:
    print('z1 != z2')

# Случай 3. Два комплексных числа равны с указанной относительной точностью
z1 = complex(3.001, 2.8)
z2 = complex(3.0, 2.8)

# Использование функции isclose(), указывается относительная точность 0.01
res = cmath.isclose(z1, z2, rel_tol=0.01) # z1 == z2
if res:
    print('z1 == z2')
else:
    print('z1 != z2')

# Случай 4. Два комплексных числа равны с указанной абсолютной точностью
z1 = complex(1.0001, 5.5)
z2 = complex(1.0, 5.5)

# Вызов функции isclose(), указывается абсолютная точность 0.001
res = cmath.isclose(z1, z2, abs_tol=0.001) # z1 == z2
if res:
    print('z1 == z2')
else:
    print('z1 != z2')

Тестовый пример

z1 != z2
z1 == z2
z1 == z2
z1 == z2

  ⇑

Связанные темы

  ⇑