Модуль cmath. Робота з комплексними числами. Тригонометричні функції. Гіперболічні функції. Функції класифікацій

---

Зміст

• 1. Тригонометричні функції
  • 1.1. Функції cmath.acos(), cmath.asin(), cmath.atan(). Отримати арккосинус, арксинус, арктангенс аргументу
  • 1.2. Функції cmath.cos(), cmath.sin(), cmath.tan(). Отримати косинус, синус та тангенс аргументу
• 2. Гіперболічні функції
  • 2.1. Функції cmath.acosh(), cmath.asinh(), cmath.atanh(). Гіперболічний арккосинус, арксинус, арктангенс
  • 2.2. Функції cmath.cosh(), cmath.sinh(), cmath.tanh(). Гіперболічний косинус, синус, тангенс
• 3. Функції класифікацій
  • 3.1. cmath.isfinite(). Скінченість комплексного числа
  • 3.2. cmath.isinf(). Скінченість складових комплексного числа
  • 3.3. cmath.isnan(). Перевірка складових комплексного числа на значення Nan
  • 3.4. cmath.isclose(). Визначення близькості двох значень між собою
• Споріднені теми

---

Пошук на інших ресурсах:

1. Тригонометричні функції

Модуль cmath містить 6 тригонометричних функцій, які обробляють комплексні числа:

• cmath.acos(x) – повертає арккосинус від аргументу x;
• cmath.asin(x) – повертає арксинус від аргументу x;
• cmath.atan(x) – визначає арктангенс від аргументу x;
• cmath.cos(x) – повертає косинус від аргументу x;
• cmath.sin(x) – повертає синус від аргументу x;
• cmath.tan(x) – повертає тангенс від аргументу x.

  ⇑

1.1. Функції cmath.acos(), cmath.asin(), cmath.atan(). Отримати арккосинус, арксинус, арктангенс аргументу

Функції

cmath.acos(x)
cmath.asin(x)

повертають відповідно арккосинус та арксинус від аргументу x. Кожна з функцій має два розрізи розгалуження. Перший простягається від 1 до ∞ вздовж дійсної осі, неперервний знизу. Другий простягається вліво від -1 до -∞ вздовж дійсної осі, неперервний зверху.

Функція

cmath.atan(x)

дозволяє отримати арктангенс від аргументу x.

Функція має два розрізи розгалуження. Перший простягається від 1j вздовж уявної осі до ∞j неперервно справа. Другий простягається від -1 до -∞ і є неперервний зліва.

Приклад.

# Тригонометричні функції acos(), asin(), atan()

# 1. Підключити модуль cmath
import cmath

# 2. Отримати комплексне число з клавіатури
re = int(input('re = '))
im = int(input('im = '))
z = complex(re, im)

# 3. Обчислити арккосинус аргументу z та вивести його
arc_cos = cmath.acos(z)
print('arc_cos = ', arc_cos)

# 4. Обчислити арксинус від z
arc_sin = cmath.asin(z)
print('arc_sin = ', arc_sin)

# 5. Обчислити арктангенс від z
arc_tan = cmath.atan(z)
print('arc_tan = ', arc_tan)

Тестовий приклад

re = 3
im = -4
arc_cos = (0.9368124611557198+2.305509031243477j)
arc_sin = (0.6339838656391766-2.305509031243477j)
arc_tan = (1.4483069952314644-0.15899719167999918j)

  ⇑

1.2. Функції cmath.cos(), cmath.sin(), cmath.tan(). Отримати косинус, синус та тангенс аргументу

Функції

cmath.cos(x)
cmath.sin(x)
cmath.tan(x)

повертають косинус, синус і тангенс аргументу x.

Приклад.

# Функції cos(), sin(), tan()

# Підключити модуль cmath
import cmath

# Створити комплексне число z = 7-8j
z = complex(7, -8)

# Обчислити косинус, синус, тангенс

sin_res = cmath.sin(z)
cos_res = cmath.cos(z)
tan_res = cmath.tan(z)
print('sin_res = ', sin_res)
print('cos_res = ', cos_res)
print('tan_res = ', tan_res)

Тестовий приклад

sin_res = (979.2248346123021-1123.6753468137035j)
cos_res = (1123.675599719735+979.2246142178511j)
tan_res = (2.2295633684101687e-07-0.9999999692244822j)

  ⇑

2. Гіперболічні функції

Модуль cmath містить реалізацію наступних гіперболічних функцій, які оперують комплексними числами:

• cmath.acosh(x) – повертає гіперболічний арккосинус від аргументу x;
• cmath.asinh(x) – повертає гіперболічний арксинус від аргументу x;
• cmath.atanh(x) – повертає гіперболічний арктангенс від аргументу x;
• cmath.cosh(x) – повертає гіперболічний косинус від аргументу x;
• cmath.sinh(x) – повертає гіперболічний синус від аргументу x;
• cmath.tanh(x) – повертає гіперболічний тангенс від аргументу x.

  ⇑

2.1. Функції cmath.acosh(), cmath.asinh(), cmath.atanh(). Гіперболічний арккосинус, арксинус, арктангенс

Для обчислення гіперболічного арккосинусу від аргументу x використовується функція

cmath.acosh(x)

Для даної функції існує один розріз гілки, що простягається зліва від -1 вздовж дійсної осі до -∞. Цей розріз є неперервний зверху.

Для обчислення гіперболічного арксинусу від аргументу x використовується функція

cmath.asinh(x)

Тут є два розгалуження. Перше розгалуження простягається від 1j вздовж уявної осі до ∞j. Це розгалуження є неперервне справа. Друге розгалуження простягається від -1j вздовж уявної осі до -∞j і є неперервне справа.

Для обчислення гіперболічного арктангенсу від аргументу x використовується функція

cmath.atanh(x)

Тут є два розгалуження. Одне розгалуження розширюється від 1 вздовж дійсної осі до ∞ і є неперервним знизу. Друге розширюється від -1 вздовж дійсної осі до -∞ і є неперервним зверху.

Приклад.

У прикладі реалізовано обчислення гіперболічного арккосинусу, гіперболічного арксинусу та гіперболічного арктангенсу. Також демонструється виведення результату для гіперболічного арккосинусу у зручній формі з точністю 2 знаки після коми.

# Тригонометричні функції acosh(), asinh(), atanh()

# 1. Підключити модуль cmath
import cmath

# 2. Отримати комплексне число з клавіатури
re = int(input('re = ')) # дійсна частина
im = int(input('im = ')) # уявна частина
z = complex(re, im)

# 3. Обчислити гіперболічний арккосинус аргументу z
#    та вивести його з точністю 2 знаки після коми
# 3.1. Отримати значення
arc_cosh = cmath.acos(z)

# 3.2. Сформувати складові комплексного числа
re_str = '%.2f' % arc_cosh.real # дійсна частина комплексного числа arc_cosh
im_str = '%.2f' % arc_cosh.imag # уявна частина

# 3.3. Вивести на екран у зручній формі
if arc_cosh.imag>0:
    print('arc_cosh = ' + re_str + '+' + im_str + 'j')
elif arc_cosh.imag==0:
    print('arc_cosh = ' + re_str)
else:
    print('arc_cosh = ' + re_str + im_str + 'j')

# 4. Обчислити та вивести гіперболічний арктангенс
arc_tanh = cmath.atanh(z)
print('arc_tanh = ', arc_tanh)

# 5. Обчислити та вивести гіперболічний арксинус
arc_sinh = cmath.asinh(z)
print('arc_sinh = ', arc_sinh)

Тестовий приклад

re = 3
im = -4
arc_cosh = 0.94+2.31j
arc_tanh = (0.1175009073114339-1.4099210495965755j)
arc_sinh = (2.2999140408792695-0.9176168533514787j)

  ⇑

2.2. Функції cmath.cosh(), cmath.sinh(), cmath.tanh(). Гіперболічний косинус, синус, тангенс

Для обчислення гіперболічного косинусу, синусу та тангенсу відповідно використовуються функції

cmath.cosh(x)
cmath.sinh(x)
cmath.tanh(x)

Приклад.

# Тригонометричні функції cosh(), sinh(), tanh()

# 1. Підключити модуль cmath
import cmath

# 2. Отримати комплексне число з клавіатури
re = int(input('re = ')) # дійсна частина
im = int(input('im = ')) # уявна частина
z = complex(re, im)

# 3. Обчислити гіперболічний косинус аргументу z
# та вивести його з точністю 2 знаки після коми
# 3.1. Отримати значення
cosh = cmath.cosh(z)

# 3.2. Сформувати складові комплексного числа
re_str = '%.2f' % cosh.real # дійсна частина комплексного числа cosh
im_str = '%.2f' % cosh.imag # уявна частина

# 3.3. Вивести на екран у зручній формі
res_str = re_str
if cosh.imag>0:
    res_str += '+'
res_str += im_str + 'j'
print('cosh = ' + res_str)

# 4. Обчислити та вивести гіперболічний тангенс
tanh = cmath.tanh(z)
print('tanh = ', tanh)

# 5. Обчислити та вивести гіперболічний синус
sinh = cmath.sinh(z)
print('sinh = ', sinh)

Тестовий приклад

re = 4
im = -3
cosh = -27.03-3.85j
tanh = (0.999355987381473+0.0001873462046294784j)
sinh = (-27.016813258003932-3.8537380379193773j)

  ⇑

3. Функції класифікацій

До функцій класифікацій модуля cmath відносяться наступні:

• cmath.isinfinite(x) – визначає, чи дійсна та уявна частина комплексного числа x є скінченими;
• cmath.isinf(x) – визначає, чи дійсна або уявна частини комплексного числа x є нескінченими;
• cmath.isnan(x) – визначає, чи дійсна або уявна частина комплексного числа мають значення Nan;
• cmath.isclose(x) – визначає близькість двох значень між собою.

  ⇑

3.1. cmath.isfinite(). Скінченість комплексного числа

Функція

cmath.isfinite(x)

повертає True, якщо дійсна та уявна частини комплексного числа є скінченими. У противному випадку функція повертає False.

Приклад.

# Функція isfinite()

# 1. Підключити модуль cmath
import cmath

# 2. Отримати комплексне число з клавіатури
re = int(input('re = ')) # дійсна частина
im = int(input('im = ')) # уявна частина
z = complex(re, im)

# 3. Використання функції isfinite()
res = cmath.isfinite(z)

if res:
    print('Both parts are finite.')
else:
    print('Both parts are not finite.')

Тестовий приклад

re = 5
im = -2
Both parts are finite.

  ⇑

3.2. cmath.isinf(). Скінченість складових комплексного числа

Функція

cmath.isinf(x)

повертає True, якщо дійсна (x.real) або уявна (x.imag) частина комплексного числа є нескінченими. У противному випадку, повертається False.

Приклад.

# Функція isinf()

# 1. Підключити модуль cmath
import cmath

# 2. Отримати комплексне число з клавіатури
re = int(input('re = ')) # дійсна частина
im = int(input('im = ')) # уявна частина
z = complex(re, im)

# 3. Використання функції isinf()
res = cmath.isinf(z)

if res:
    print('Both parts are not finite.')
else:
    print('Both parts are finite.')

Тестовий приклад

re = 5
im = -3
Both parts are finite.

  ⇑

3.3. cmath.isnan(). Перевірка складових комплексного числа на значення Nan

Функція

cmath.isnan(x)

повертає True, якщо одна з частин (дійсна або уявна) комплексного числа має значення Nan. У противному випадку функція повертає False.

Приклад.

# Функція isnan()

# 1. Підключити модуль cmath
import cmath

# 2. Отримати комплексне число з клавіатури
re = int(input('re = ')) # дійсна частина
im = int(input('im = ')) # уявна частина
z = complex(re, im)

# 3. Використання функції isnan()
res = cmath.isnan(z)

if res:
    print('One of the parts is equal to the Nan value.')
else:
    print('Both parts are not equal to Nan.')

Тестовий приклад

re = 2
im = -7
Both parts are not equal to Nan.

  ⇑

3.4. cmath.isclose(). Визначення близькості двох значень між собою

Функція cmath.isclose() дозволяє визначити близькість двох значень між собою на основі заданої точності. Згідно документації Python синтаксис оголошення функції наступний:

cmath.isclose(a, b, rel_tol=1e-09, abs_tol = 0.0)

тут

• a, b – комплексні числа, що порівнюються. Якщо значення близькі (рівні з заданою точністю), то функція повертає True, інакше функція повертає False;
• rel_tol – не обов’язковий параметр, що задає відносну похибку при порівнянні;
• abs_tol – не обов’язковий параметр, який визначає абсолютну похибку між значеннями елементів.

Приклад.

# Функція isclose()

# Підключити модуль cmath
import cmath

# Випадок 1. Два комплексні числа не рівні
z1 = complex(2.5, 3.2) # z = 2.5+3.2j
z2 = complex(2.5000001, 3.2) # z = 2.5000001+3.2j

# Використання функції isclose()
res = cmath.isclose(z1, z2) # False
if res:
    print('z1 == z2')
else:
    print('z1 != z2')

# Випадок 2. Два комплексні числа рівні
z1 = complex(7.2, -1.7) # z1 = 7.2-1.7j
z2 = complex(7.2, -1.7) # z2 = 7.2-1.7j

# Використання функції isclose()
res = cmath.isclose(z1, z2) # True
if res:
    print('z1 == z2')
else:
    print('z1 != z2')

# Випадок 3. Два комплексні числа рівні з заданою відносною точністю
z1 = complex(3.001, 2.8)
z2 = complex(3.0, 2.8)

# Використання функції isclose(), вказується відносна точність 0.01
res = cmath.isclose(z1, z2, rel_tol=0.01) # z1 == z2
if res:
    print('z1 == z2')
else:
    print('z1 != z2')

# Випадок 4. Два комплексні числа рівні з заданою абсолютною точністю
z1 = complex(1.0001, 5.5)
z2 = complex(1.0, 5.5)

# Виклик функції isclose(), вказується абсолютна точність 0.001
res = cmath.isclose(z1, z2, abs_tol=0.001) # z1 == z2
if res:
    print('z1 == z2')
else:
    print('z1 != z2')

Тестовий приклад

z1 != z2
z1 == z2
z1 == z2
z1 == z2

  ⇑

---

Споріднені теми

• Комплексні числа. Модуль cmath. Створення комплексного числа. Клас complex. Функції та константи модуля cmath
• Функції перетворення в полярні координати і навпаки. Степеневі та логарифмічні функції
• Представлення чисел різних типів. Базові числові типи. Функції перетворення чисел

  ⇑

---